物體靠近黑洞時為什麼會被拉成面條？固體潮與海洋潮在計算上會有什麼不同之處？潮汐導致的地球形變會進一步影響潮汐高度嗎？11月18日12時，《張朝陽的物理課》第一百零二期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先給網友們介紹了潮汐鎖定以及潮汐加熱等概念，然後通過計算分析人或者物體在黑洞附近自由下落時所經歷的意大利面效應，接著證明了潮汐力導致的海平面呈橢球形，最後通過考慮地球潮汐形變導致的引力勢修正，詳細分析並計算了固體潮差。
潮汐導致的能量傳遞 黑洞附近的意大利面效應
課程一開始，張朝陽帶著網友們復習了潮汐力的概念。
在月球的潮汐作用下，地球會出現微小的形變。
由於地球自轉，地球形變的方向不嚴格指向月球方向，而是偏差一個小角度。
正是因為這個小角度的存在，導致地球對月球除了具有一般的向心引力之外，還疊加上一個切向力，這會讓月球的公轉速度變快，從而遠離地球；同時，這個力會拖慢地球的自轉，最終使得地球自轉速度與月球公轉速度一致，這就是潮汐鎖定。
不過，月球對地球的鎖定作用很小，哪怕地月系統已經形成了這麼長時間，地球仍然具有很高的自轉速度。
而地球對月球的鎖定作用相對來說更顯著，這導致月球目前已經被地球潮汐鎖定，從而我們現在從地球觀測隻能看到月球的一個面。
由於潮汐作用會使得星球發生形變，當自轉與公轉不同步時，星球形變位置會不斷地發生改變，這就相當於周期性地在不同方向擠壓星球，這會導致這個星球被不斷地加熱，這就是潮汐作用的加熱效應。
介紹完這些效應之後，張朝陽開始分析黑洞附近的意大利面效應。
意大利面效應本質上是潮汐效應。
精確的分析需要使用廣義相對論，為了避免陷入繁雜的數學中，張朝陽使用牛頓引力理論來計算。
假設一個具有有限大小的物體朝著黑洞作自由下落運動，在進入視界之前，物體的加速度可由引力定律及牛頓第二定律得到：
其中m2是黑洞質量，a是物體與黑洞的距離。
建立非慣性坐標系使得原點在物體上，z軸從物體指向黑洞，同時以z軸為極軸建立球坐標系(r,θ,Ф)，因為整個體系是繞z軸旋轉對稱的，因此可以忽略Ф坐標，後文將使用Ф表示勢能而非球坐標中的角度。
由於物體作加速運動，在這個坐標系上存在一個均勻慣性力場，立場方向與物體加速度反向：
可以計算得到這個力場對應勢場為：
其中P1表示第一階勒讓德多項式，前幾個勒讓德多項式為：
設黑洞中心到物體附近位置(r,θ)的距離為l，借助上一次直播課介紹的展開式，黑洞在(r,θ)處的引力勢為：
忽略其中的高階項，可得總的勢為：
上式最後一行的第一項是一個常數項，因為常數項不會影響力的計算，因此可以進一步忽略這個常數項，最終得到總勢為：
有了勢場公式，隻需要對勢求梯度並取反方向就能得到力的公式了。
張朝陽先計算了沿er方向的力：
然後計算出eθ方向的力：
然後，張朝陽繪制了如下示意圖：
根據示意圖容易發現，當θ不等於0、π/2或者π時，Fθ不等於零，方向總是朝向z軸的，因此物體受到一個往z軸擠壓的力。
另一方面，er方向的力會向兩頭拉伸物體。
所以，當m2很大時，物體會受到很大的朝兩頭拉伸的潮汐力以及朝向軸心的擠壓力，最終會使得物體被拉扯成意大利面形狀，這就是黑洞附近的意大利面效應。
進一步地，張朝陽計算了z軸上的潮汐力。
在軸上，θ=0或者π。
當θ=0時：
當θ=π時：
可見這部分潮汐力確實是把物體往兩頭拉伸的。
張朝陽還介紹說，潮汐力本質上來源於力場的非均勻性。
為此，張朝陽假設一個人高h=2r，人的質心近似處在人的中心位置，那麼人的兩端距離質心為r。
可以借助牛頓萬有引力定律求出人的兩端以及質心處的引力場大小，然後差值就是潮汐力：
這個結果與前面使用勢場所得結果是一樣的。
《張朝陽介紹黑洞附近的意大利面效應)》
潮汐力導致海平面偏離 近似計算得出橢球面
在以前的課程中，張朝陽計算了海水的潮差，當時使用的模型是：假設地球的固體部分是一個球形剛體，不受潮汐力影響，海水的引力勢忽略不計。
在這一次直播課程中，張朝陽進一步推導了海平面方程。
以地球中心為原點建立極坐標系，極軸指向月球。
設地球的平均半徑為R，極軸方向的地球半徑為Rp，垂直極軸的方向的地球半徑為Re，那麼定義偏心率為：
如果地球海面是旋轉對稱的橢球面的話，在ε的一階近似下，它的方程可以寫為：
定義θ0滿足：
那麼R(θ0)=R。
介紹完橢球面的近似表示，張朝陽開始證明海面也可以近似為同樣形式的方程。
為此，張朝陽假設R(θ)=R+h(θ)，其中h(θ)滿足h(θ0)=0。
這裡的R還不確定是地球的平均半徑，它隻是θ=θ0時的地球半徑，不過在證明了海面確實是橢球面之後可以證明這個R就是地球的平均半徑。
假設地球質量為m1，月球質量為m2。
地球引力在海面處的勢場為：
靜止流體的表面是一個等勢面，因此在海面處地球引力勢與月球引力勢之和為常數。
借助上一次直播課推導出來的月球剩餘勢場，可以得到：
上式中的常數可以通過取θ=θ0得到，結果是-Gm1/R，因此有：
從這個式子立即得到：
其中：
於是海面到地球中心的距離為：
對比前面的橢球面方程即可知道海面確實近似為旋轉對稱的橢球面。
進一步的對比可以得到偏心率為：
根據偏心率的定義，代入數據可以得到Re比Rp要短大約0.54米，這正是此模型下的海洋潮差。
同時，可以計算得知此式中的R確實是地球平均半徑。
(張朝陽證明海面是橢球面)
固體潮導致引力勢修正 引力勢修正影響潮差
在前面的計算中，張朝陽假設了地球固體部分不形變。
實際上，在潮汐力的作用下，地球固體部分也是會發生形變的，此形變被稱為固體潮。
張朝陽介紹說，由於固體密度比水的密度大得多，固體形變導致的引力勢改變將變得不可忽略，特別地，固體形變導致的引力勢修正是與月球的潮汐勢處在同一量級的，因此必須考慮進來。
固體與流體具有許多不同之處，不過張朝陽先假設了固體會像流體那樣形變使得表面與等勢面重合。
進一步地，張朝陽假設固體潮形變仍然是橢球形的形變，因此地球表面可以表示為：
然後，張朝陽借助了作微小橢球形變的密度均勻的球體的引力勢公式：
再次使用月球的潮汐勢公式，可得此時的等勢面方程為：
由於 Rs=R+h，h相對於R來說非常小，上式三項對h作展開會得到正比於h的項，這些項的系數正是各項勢對應的加速度，其中第一項對應的加速度最大，約等於重力加速度，而其他項對應的加速度都很小，因此可以直接忽略，所以第二第三項中的Rs可以直接取為R，這樣就得到：
取θ=θ0可以得到上式中的常數等於-Gm1/R，通過對上式第一項作展開並且隻保留最低階的兩項可以得到：
化簡可得：
所以：
這就是把固體當作流體處理時所得的地球偏心率，可見考慮了形變導致的引力勢修正之和，偏心率公式中的系數由3/2變成了15/4，變大了1.5倍。
實際上，由於地球自轉很快，加上地球固體近似是一種彈性體，固體形變維持與恢復的時間尺度遠大於流體，因此固體表面會偏離等勢面。
更嚴格的分析表明，固體潮導致的偏心率為：
其中μ約等於3.35，主要由地球內部的物質性質所決定，代入數值可以得知固體潮差約等於0.31米。
(張朝陽推導固體潮對應的偏心率)
據了解，《張朝陽的物理課》於每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻『關注流』中搜索『張朝陽』，觀看直播及往期完整視頻回放；關注『張朝陽的物理課』賬號，查看課程中的『知識點』短視頻。
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